K3 Surfaces
Algebraic surface의 분류 이론에서 canonical bundle의 positivity는 중심적인 역할을 한다. Enriques-Kodaira 분류에 따륨면, geometric genus $p_g$와 irregularity $q$ 그리고 pluricanonical map의 거동에 의해 algebraic surface들이 체계적으로 정리된다. 이 분류의 한가울에 위치한 대상이 바로 K3 surface이다. K3 surface는 canonical bundle이 trivial하면서도 1차 콤몰로지가 소멸하는 simply connected smooth projective surface로, Calabi-Yau variety의 2차원 버전이라 불리기도 한다. 본 글에서는 K3 surface의 정의, 대표적인 예시, 그리고 그 기본 불변량들을 정리한다.
정의 1 복소수체 $\mathbb{C}$ 위에서, K3 surface란 다음 두 조건을 만족하는 smooth projective surface $S$를 가리킨다.
- $S$는 simply connected이다.
- Canonical bundle $K_S = \Omega_S^2$가 trivial하다. 즉 $K_S \cong \mathcal{O}_S$이다.
정의 1의 두 번째 조걸만으로는 abelian surface도 포함되므로, simply connectedness는 K3 surface를 abelian surface로부터 분리하는 핵심적인 조건이다. 실제로 $H^1(S, \mathcal{O}_S) = 0$은 simply connectedness로부터 유도되는 중요한 대수적 특성이다.
대표적인 예시
K3 surface가 단순히 추상적으로 정의된 개념이 아니라 풍부한 예시들을 가진다는 사실은 이론의 깊이를 보여준다. 우리는 가장 기본적인 예시부터 시작하여 classical한 construction을 살펴 본다.
예시 2 (Quartic surface) $\mathbb{P}^3$ 속의 smooth quartic hypersurface $S_4 \subset \mathbb{P}^3$는 K3 surface의 전형적인 예시이다. Adjunction formula에 의하면
\[K_{S_4} = \left.\left(K_{\mathbb{P}^3} \otimes \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(4)\right)\right\vert_{S_4} = \left.\mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(-4+4)\right\vert_{S_4} \cong \mathcal{O}_{S_4}\]이므로 $K_{S_4}$는 trivial하다. 한편 Lefschetz hyperplane theorem에 의해 $S_4$는 simply connected이며, 이로부터 $H^1(S_4, \mathcal{O}_{S_4}) = 0$이 성립한다. 따라서 $S_4$는 정의 1의 모든 조건을 만족한다.
Quartic surface 외에도 complete intersection으로 주어지는 K3 surface들이 존재한다. $\mathbb{P}^4$ 속의 quadric과 cubic hypersurface의 교 $S_{2,3}$, 또는 $\mathbb{P}^5$ 속의 세 개의 quadric hypersurface의 교 $S_{2,2,2}$ 역시 동일한 방식으로 adjunction formula를 적용하면 K3 surface임을 확인할 수 있다. 이러한 예시들은 K3 surface가 projective space에서 자연스럽게 등장함을 보여준다.
예시 3 (Kummer surface) Abelian surface $A$ 위에 정의된 involution $\iota: A \rightarrow A$, $\iota(a) = -a$를 고려하자. 이 때 $\iota$의 고정점은 2-torsion subgroup $A[2]$의 원소들이며, 모두 16개 존재한다. Quotient surface $A/\langle \iota \rangle$는 이 16개의 고정점들로부터 16개의 ordinary double point를 가지며, 이들의 minimal desingularization을 $\widetilde{A/\langle \iota \rangle}$이라 하자. 우리는 이 smooth surface를 $A$의 Kummer surface라 부르고 $\operatorname{Kum}(A)$로 표기한다.
$\operatorname{Kum}(A)$가 K3 surface임을 확인하기 위해서는 canonical bundle의 triviality와 simply connectedness를 검증하면 된다. Blow-up을 통한 desingularization 과정에서 생기는 16개의 exceptional curve는 모두 smooth rational curve이며 self-intersection $-2$를 가진다. $A/\langle \iota \rangle$의 canonical divisor는 trivial하므로 desingularization 후에도 canonical bundle은 trivial하게 되고, $A$가 simply connected가 아니더라도 $\operatorname{Kum}(A)$는 simply connected임을 보일 수 있다. 따라서 $\operatorname{Kum}(A)$는 K3 surface이다.
Kummer surface는 K3 surface 이론에서 특별한 위치를 차지한다. 모든 Kummer surface는 algebraic K3 surface이며, 이들의 family는 전체 algebraic K3 surface의 moduli space에서 3차원 부분집합을 이룬다. Nikulin의 유명한 결과에 의하면, 16개의 서로소인 $(-2)$-curve를 포함하는 K3 surface는 반드시 어떤 abelian surface의 Kummer surface로부터 얻어진다.
기본 불변량
K3 surface의 기하학적 성질을 파악하기 위해서는 여러 수치 불변량들을 계산하는 것이 필수적이다. 우리는 이들이 Kodaira dimension의 결정과 K3 surface의 위상적 구조를 이해하는 데 직접적으로 사용됨을 보인다.
정리 4 K3 surface $S$에 대하여 다음이 성립한다.
\[q = h^1(\mathcal{O}_S) = 0, \quad p_g = h^0(K_S) = 1, \quad \chi(\mathcal{O}_S) = 2, \quad K_S^2 = 0, \quad c_2(S) = 24.\]증명
정의 1에 의해 $S$는 simply connected이므로 $H^1(S, \mathcal{O}_S) = 0$이고, 따라서 irregularity $q = 0$이다. Canonical bundle $K_S \cong \mathcal{O}_S$가 trivial하므로 $p_g = h^0(K_S) = h^0(\mathcal{O}_S) = 1$이다. Euler characteristic $\chi(\mathcal{O}_S) = h^0(\mathcal{O}_S) - h^1(\mathcal{O}_S) + h^2(\mathcal{O}_S)$는 Serre duality에 의해 $h^2(\mathcal{O}_S) = h^0(K_S) = 1$이므로 $\chi(\mathcal{O}_S) = 1 - 0 + 1 = 2$이다.
$K_S$가 trivial line bundle이므로 $K_S^2 = K_S \cdot K_S = 0$이다. 마지막으로 Noether formula
\[\chi(\mathcal{O}_S) = \frac{1}{12}\left(K_S^2 + c_2(S)\right)\]에 $\chi(\mathcal{O}_S) = 2$와 $K_S^2 = 0$를 대입하면 $c_2(S) = 24$를 얻는다.
정리 4에서 $c_2(S) = 24$은 K3 surface의 위상적 Euler characteristic $\chi_{\mathrm{top}}(S) = 24$과 동치이다. 이 값은 K3 surface의 위상수학적 구조를 이해하는 데 핵심적인 역할을 한다. 예를 들어 Betti numbers는 $b_0 = b_4 = 1$, $b_1 = b_3 = 0$이고 $b_2 = \chi_{\mathrm{top}}(S) - 2 = 22$이다.
Hodge diamond
K3 surface의 Hodge structure는 그 복소기하학적 성질을 완전히 결정한다. 정리 4에서 얻은 정보를 바탕으로 Hodge diamond를 명시적으로 기술할 수 있다.
정리 5 K3 surface $S$의 Hodge diamond는 다음과 같다.
\[\begin{array}{ccccc} & & h^{0,0} & & \\ & h^{1,0} & & h^{0,1} & \\ h^{2,0} & & h^{1,1} & & h^{0,2} \\ & h^{2,1} & & h^{1,2} & \\ & & h^{2,2} & & \end{array} \quad = \quad \begin{array}{ccccc} & & 1 & & \\ & 0 & & 0 & \\ 1 & & 20 & & 1 \\ & 0 & & 0 & \\ & & 1 & & \end{array}\]증명
$h^{0,0} = h^{2,2} = 1$은 connectedness와 compactness로부터 자명하다. Hodge symmetry에 의해 $h^{p,q} = h^{q,p}$이고, Serre duality에 의해 $h^{p,q} = h^{2-p,2-q}$이다. 정리 4로부터 $h^{1,0} = h^{0,1} = q = 0$이고 $h^{2,0} = h^{0,2} = p_g = 1$이다. 마지막으로 $h^{1,1}$은 Betti number $b_2 = 22$와의 관계 $b_2 = h^{2,0} + h^{1,1} + h^{0,2} = 2 + h^{1,1}$로부터 $h^{1,1} = 20$이다.
Hodge diamond에서 $h^{1,1} = 20$은 K3 surface의 중간 콤몰로지 $H^2(S, \mathbb{Z})$가 22차원 real vector space임을, 그리고 그 복소구조가 2차원의 $(2,0)$-part와 20차원의 $(1,1)$-part로 분해됨을 의미한다. 특히 $(1,1)$-subspace의 dimension이 20이라는 사실은 K3 surface의 Néron-Severi group이 최대 20까지 rank를 가질 수 있음을 시사한다.
플루리게네라와 코다이라 차원
Algebraic surface의 분류에서 plurigenera $P_m = h^0(S, mK_S)$와 Kodaira dimension $\kappa(S)$는 기하학적 거동을 결정하는 핵심적인 불변량이다. K3 surface의 경우 이들이 매우 단순한 값을 가짐을 보일 수 있다.
정리 6 K3 surface $S$에 대하여 모든 $m \geq 0$에 대해 $P_m = 1$이다. 특히 Kodaira dimension은 $\kappa(S) = 0$이다.
증명
$K_S \cong \mathcal{O}_S$이므로 임의의 $m \geq 1$에 대해 $mK_S \cong \mathcal{O}_S^{\otimes m} \cong \mathcal{O}_S$이다. 따라서
\[P_m = h^0(S, mK_S) = h^0(S, \mathcal{O}_S) = 1\]이다. $m = 0$인 경우 $P_0 = h^0(S, \mathcal{O}_S) = 1$이 성립한다. Plurigenera가 상수로 유계이므로 pluricanonical map들의 image dimension은 0이 되어 Kodaira dimension $\kappa(S) = 0$이다.
정리 6은 K3 surface가 Enriques-Kodaira 분류에서 Kodaira dimension 0을 가지는 네 가지 유형, 즉 abelian surface, K3 surface, Enriques surface, 그리고 hyperelliptic surface 중 하나임을 확인시켜 준다. Canonical bundle이 trivial하므로 K3 surface는 Calabi-Yau manifold의 2차원 사례로, Ricci-flat Kähler metric을 허용한다는 Yau의 정리의 직접적인 적용 대상이기도 하다.
$(-2)$-곡선과 모듈라이 공간
K3 surface 위의 곡선들, 특히 self-intersection이 음수인 rational curve들은 K3 surface의 기하학과 그 moduli space의 구조를 이해하는 데 중요한 역할을 한다.
정의 7 K3 surface $S$ 위의 $(-2)$-curve란 smooth rational curve $C$로서 $C^2 = -2$를 만족하는 것을 가리킨다.
Adjunction formula $2g(C) - 2 = C^2 + K_S \cdot C$와 $K_S \cong \mathcal{O}_S$로부터, K3 surface 위의 임의의 curve $C$에 대해 $C^2 = 2g(C) - 2$가 성립함을 알 수 있다. 따라서 $C$가 smooth rational curve, 즉 $g(C) = 0$이면 $C^2 = -2$가 자동적으로 성립한다. 이는 K3 surface 위의 smooth rational curve가 반드시 $(-2)$-curve임을 의미한다.
명제 8 K3 surface $S$ 위의 $(-2)$-curve는 ample cone의 wall을 정의하며, polarized K3 surface의 moduli space의 chamber decomposition과 깊은 관계가 있다. 구체적으로, ample cone $\operatorname{Amp}(S)$는 $(-2)$-class들의 orthogonal hyperplane들에 의해 여러 개의 chamber로 분해되며, 이들 chamber는 K3 surface의 marking과 polarization의 선택에 대응한다. 또한 Nikulin의 결과에 의하면, 16개의 서로소인 $(-2)$-curve를 포함하는 K3 surface는 반드시 어떤 abelian surface의 Kummer surface이다.
증명
K3 surface $S$ 위의 divisor $D$에 대해 Riemann-Roch 정리는
\[\chi(\mathcal{O}_S(D)) = \chi(\mathcal{O}_S) + \frac{1}{2}D \cdot (D - K_S) = 2 + \frac{1}{2}D^2\]를 준다. $C$가 $(-2)$-curve라면 $D = C$에 대해 $\chi(\mathcal{O}_S(C)) = 2 - 1 = 1$이다. Serre duality에 의해 $h^2(\mathcal{O}_S(C)) = h^0(\mathcal{O}_S(-C)) = 0$이므로 $h^0(\mathcal{O}_S(C)) \geq 1$이고, 따라서 $C$는 effective divisor이다.
$(-2)$-class $\delta \in H^2(S, \mathbb{Z})$에 대해 hyperplane $\delta^\perp = {x \in H^{1,1}(S, \mathbb{R}) : x \cdot \delta = 0}$는 positive cone의 boundary를 정의한다. K3 surface의 Torelli theorem에 따르면, K3 surface의 복소구조는 period $H^{2,0}(S) \subset H^2(S, \mathbb{C})$에 의해 완전히 결정된다. $(-2)$-curve의 존재는 Néron-Severi group 내의 $(-2)$-class의 존재와 동치이며, 이는 K3 surface의 period가 so-called root hyperplane 위에 놓임을 의미한다. 따라서 $(-2)$-curve가 없는 generic K3 surface의 period domain은 이들 hyperplane들의 보수집합이 되고, $(-2)$-curve가 존재하는 special K3 surface들은 이 hyperplane들 위에 놓인다.
Polarized K3 surface의 coarse moduli space $\mathscr{F}_{2d}$는 period domain의 quotient로 실현되며, $(-2)$-curve에 의해 정의되는 root hyperplane은 moduli space의 Noether-Lefschetz locus를 구성한다. 이 locus들은 moduli space 내에서 특수한 기하학적 성질을 가지는 K3 surface들의 family를 parametriz한다. 특히 16개의 서로소인 $(-2)$-curve를 가지는 K3 surface는 Kummer surface로, 이들은 moduli space 내에서 특별한 3차원 부분집합을 이룬다.
$(-2)$-curve는 K3 surface의 intersection form이 even unimodular lattice $H^2(S, \mathbb{Z}) \cong U^{\oplus 3} \oplus (-E_8)^{\oplus 2}$의 구조와도 밀접하게 관련된다. 이 lattice 내의 $(-2)$-class들은 Weyl group의 root system을 형성하며, 이들의 존재는 K3 surface의 automorphism group과 birational geometry에 결정적인 영향을 미친다.
Quartic K3와 $(-2)$-곡선
예시 2에서 살펴본 quartic K3 surface $S_4 \subset \mathbb{P}^3$는 projective space에서 직접적으로 관찰할 수 있는 $(-2)$-curve들을 가질 수 있다. 우리는 일반적인 quartic K3가 어떤 직선도 포함하지 않음을 먼저 확인하고, 특수한 예시들에서 풍부한 $(-2)$-curve들의 존재를 살펴 본다.
예시 9 $\mathbb{P}^3$ 속의 일반적인 smooth quartic K3 surface는 어떤 직선도 포함하지 않는다. 그러나 특수한 quartic K3는 많은 수의 직선을 포함할 수 있다. 예를 들어 Fermat quartic
\[x_0^4 + x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 = 0\]은 정확히 48개의 직선을 포함한다. 한편 Schur quartic
\[x_0^4 - x_0 x_3^3 = x_1^4 - x_1 x_2^3\]은 정확히 64개의 직선을 포함하며, 이는 복소수체 위의 smooth quartic surface가 포함할 수 있는 직선의 개수의 최대값이다. Segre의 정리에 의하면 smooth quartic surface는 최대 64개의 직선만을 포함할 수 있으며, 이 bound는 Schur quartic에 의해 sharp하게 달성된다.
Quartic K3 위의 임의의 직선 $\ell$은 adjunction formula으로부터 $2g(\ell) - 2 = \ell^2 + K_{S_4} \cdot \ell = \ell^2$이고 $g(\ell) = 0$이므로 $\ell^2 = -2$를 만족한다. 따라서 quartic K3 위의 모든 직선은 $(-2)$-curve이다. 일반적인 quartic K3가 직선을 포함하지 않는다는 사실은 moduli space of quartic K3 surfaces에서 직선을 포함하는 K3 surface들이 특정 Noether-Lefschetz locus 위에 놓이기 때문이다.
예시 9는 K3 surface의 moduli space 내에서 special locus의 기하학을 연구하는 중요한 동기를 제공한다. Fermat quartic과 Schur quartic은 각각 풍부한 대칭성을 가지며, 이들의 직선들의 배열은 K3 surface의 lattice theory와 깊은 연관을 가진다. 특히 Schur quartic의 64개의 직선들은 K3 surface 위의 $(-2)$-curve의 configuration을 연구하는 classical한 출발점이 된다.
참고문헌
[Har] R. Hartshorne, Algebraic geometry, Springer, 1977.
[Huy] D. Huybrechts, Lectures on K3 surfaces, Cambridge University Press, 2016.
[Bea] A. Beauville, Complex algebraic surfaces, 2nd ed., Cambridge University Press, 1996.
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