§Marsh–Rietsch Superpotential과 §Jacobi Ring에서 우리는 Grassmannian $X = Gr(k,n)$에 대한 non-equivariant mirror symmetry를 살펴 보았다. 본 글에서는 torus $T = (\mathbb{C}^\ast)^n$의 자연스러운 작용을 포함하는 equivariant mirror symmetry를 다룬다. Equivariant setting에서 A-model은 torus-equivariant quantum cohomology $QH^\ast_T(X)$이며, B-model은 equivariant parameter $\lambda_i$를 추가한 Landau-Ginzburg model $(\check{X}^\circ, W_q^T)$이 된다. 우리는 먼저 Grassmannian 위의 torus 작용과 equivariant cohomology의 기본적인 성질을 복습한 뒤, Rietsch의 equivariant mirror construction을 제시하고, 마지막으로 $Gr(2,4)$에서의 구체적 예시를 통해 equivariant superpotential의 형태를 확인한다.

Torus 작용과 equivariant cohomology

Grassmannian $X = Gr(k,n)$은 $n$-차원 복소벡터공간 $\mathbb{C}^n$의 $k$-차원 부분공간들의 moduli space이다. $n$-차원 torus $T = (\mathbb{C}^\ast)^n$이 $\mathbb{C}^n$에 대각적으로 작용하면, 이는 $X$ 위로 자연스럽게 유도된다. 구체적으로 $t = (t_1, \dots, t_n) \in T$와 $V \in X$에 대하여,

\[t \cdot V = \{ (t_1 v_1, \dots, t_n v_n) \mid (v_1, \dots, v_n) \in V \}\]

으로 정의한다. 이 작용은 algebraic torus의 typical한 linear action이며, $X$ 위의 Schubert variety들을 안정화시킨다.

$T$의 고정점 집합 $X^T$은 coordinate subspace들로 구성된다. 즉 각 $k$-element subset $I \subseteq {1, \dots, n}$에 대해,

\[p_I = \operatorname{span}\{ e_i \mid i \in I \}\]

가 고정점이 되며, 이들이 전체 고정점을 이룬다. 따라서 $X^T$은 $\binom{n}{k}$개의 isolated point로 구성된다.

정의 1 $T$가 $X$ 위에 작용하는 경우, equivariant cohomology $H^\ast_T(X)$는 Borel construction

\[H^\ast_T(X) = H^\ast(ET \times_T X)\]

으로 정의된다. 여기서 $ET \to BT$는 universal principal $T$-bundle이다. 특히 $H^\ast_T(\mathrm{pt}) = H^\ast(BT) = \mathbb{C}[\lambda_1, \dots, \lambda_n]$이며, 여기서 $\lambda_i$는 $T$의 $i$-번째 인자에 대응하는 equivariant parameter이다.

Equivariant cohomology $H^\ast_T(X)$는 $H^\ast_T(\mathrm{pt})$-module 구조를 가지며, 이는 $\mathbb{C}[\lambda_1, \dots, \lambda_n]$-algebra로 이해된다. Non-equivariant cohomology는 equivariant cohomology에서 $\lambda_i = 0$으로 specialization한 것으로 회복된다.

Grassmannian의 equivariant cohomology는 equivariant Schubert class $\sigma^\lambda_T$들에 의해 생성되며, 이들은 partition $\lambda \in \mathcal{P}_{k,n}$에 의해 색인화된다. Classical setting과 마찬가지로 ${\sigma^\lambda_T}$는 $H^\ast_T(\mathrm{pt})$-module의 basis를 형성한다.

정리 2 (Localization theorem) $X$ 위의 torus 작용이 유한한 고정점 집합 $X^T$을 갖는다고 하자. 이때 localization map

\[\iota^\ast: H^\ast_T(X) \longrightarrow \bigoplus_{p \in X^T} H^\ast_T(\mathrm{pt}), \qquad \alpha \longmapsto (\alpha|_p)_{p \in X^T}\]

은 $H^\ast_T(\mathrm{pt})$-module의 isomorphism이 된다. 보다 정확히, 이는 equivariant Euler class $e_T(T_p X)$로 나눈 뒤 합산하는 Gysin map의 역으로 주어진다.

증명

Localization theorem의 핵심은 torus action이 sufficiently nice한 경우, equivariant cohomology의 정보가 고정점 근처에서만 결정된다는 사실이다. Atiyah-Bott localization의 정형에 따르면, $X$가 compact smooth manifold이고 $T$가 유한한 고정점 집합을 가지면, inclusion $i: X^T \hookrightarrow X$에 의한 pullback $i^\ast$는 $H^\ast_T(\mathrm{pt})$-module의 isomorphism이 된다. 이는 $X \setminus X^T$ 위에서의 equivariant cohomology가 $H^\ast_T(\mathrm{pt})$-torsion이며, localization 후 사라지기 때문이다.

Grassmannian의 경우 $X^T$는 $\binom{n}{k}$개의 isolated point이므로, $H^\ast_T(X^T) = \bigoplus_{I} H^\ast_T(\mathrm{pt}) = \bigoplus_{I} \mathbb{C}[\lambda_1, \dots, \lambda_n]$이다. 따라서 각 equivariant class $\alpha \in H^\ast_T(X)$는 고정점에서의 restriction $\alpha

{p_I}$들의 tuple로 완전히 결정된다. 이 대응의 역은 Gysin pushforward $i\ast$에 의해 주어지며, 각 고정점의 기여에 equivariant Euler class의 역수를 곱하여 합산하는 형태를 가진다.

정리 정리 2는 equivariant Schubert calculus의 핵심 도구이다. 특히 각 equivariant Schubert class $\sigma^\lambda_T$의 restriction to fixed point은 factorial Schur polynomial으로 명시적으로 계산될 수 있으며, 이는 Billey의 공식이나 Knutson-Tao의 puzzle rule을 통해 주어진다.

Equivariant quantum cohomology

Equivariant quantum cohomology $QH^\ast_T(X)$는 ordinary quantum cohomology $QH^\ast(X)$의 자연스러운 equivariant deformation이다. 이는 Gromov-Witten invariant를 torus 작용에 대해 equivariant하게 세는 것으로 정의된다.

정의 3 $X = Gr(k,n)$의 $T$-equivariant quantum cohomology $QH^\ast_T(X)$는 $H^\ast_T(\mathrm{pt})[q]$-module로서 $H^\ast_T(X)$와 동일한 basis $\sigma^\lambda_T$를 가지며, 곱셈은 equivariant quantum product $\star_T$로 주어진다. 두 Schubert class의 equivariant quantum product는

\[\sigma^\lambda_T \star_T \sigma^\mu_T = \sum_{\nu, d} q^d \langle \sigma^\lambda_T, \sigma^\mu_T, \sigma^\nu_T \rangle_{0,3,d}^T \cdot \sigma^{\nu^\vee}_T\]

으로 정의된다. 여기서 $\langle \cdot, \cdot, \cdot \rangle_{0,3,d}^T$는 degree $d$의 equivariant Gromov-Witten invariant이며, 이는 torus $T$에 대해 equivariant하게 정의된 stable map들의 moduli space 위의 적분이다.

Equivariant quantum cohomology는 두 방향으로의 deformation을 동시에 포함한다. 먼저 quantum parameter $q$는 Gromov-Witten invariant를 통해 classical cup product를 deformation시키며, 동시에 equivariant parameters $\lambda_i$는 torus 작용에 의한 localization 정보를 반영한다. $q = 0$으로 specialization하면 classical equivariant cohomology $H^\ast_T(X)$가 되고, $\lambda_i = 0$으로 specialization하면 non-equivariant quantum cohomology $QH^\ast(X)$가 된다.

Mihalcea는 equivariant quantum Pieri rule과 Giambelli formula를 증명하였으며, 이들은 factorial Schur polynomial의 언어로 우아하게 표현된다. 특히 equivariant quantum Schubert class는 factorial Schur polynomial $s_\lambda(x

a)$로 표현될 수 있으며, 여기서 $a = (a_i)$는 torus weight에 대응하는 sequence이다.

Equivariant superpotential $W_q^T$

§Marsh–Rietsch Superpotential, ⁋정의 5에서 정의한 non-equivariant superpotential $W_q$는 dual Grassmannian $\check{X}^\circ$ 위의 regular function이다. Equivariant mirror symmetry로 나아가기 위해서는 이 superpotential에 torus action에 대응하는 추가 항들을 포함시켜야 한다. 이는 Rietsch의 2008년 논문에서 체계적으로 다루어졌다.

정의 4 (Equivariant superpotential) Marsh–Rietsch의 non-equivariant superpotential $W_q: \check{X}^\circ \times \mathbb{C}^\ast_q \to \mathbb{C}$가 주어졌을 때, equivariant superpotential $W_q^T$는 dual torus $T^\vee$의 equivariant parameters $\lambda = (\lambda_1, \dots, \lambda_n)$를 추가하여 정의된다. 구체적으로 $W_q^T$는 $\check{X}^\circ \times \mathbb{C}^\ast_q \times \mathfrak{t}^\vee$ 위에서

\[W_q^T(x, q, \lambda) = W_q(x, q) + W_{\mathrm{eq}}(x, \lambda)\]

의 형태를 가지며, 여기서 $W_{\mathrm{eq}}$는 equivariant correction term으로, $T^\vee$의 character에 대응하는 linear combination of logarithmic terms이다. 특히 Lie-theoretic 좌표계에서 $W_q^T$는

\[W_q^T = q \frac{\Delta_{\widehat{J}_{n-k}}}{\Delta_{J_{n-k}}} + \sum_{i \neq n-k} \frac{\Delta_{\widehat{J}_i}}{\Delta_{J_i}} + \sum_{j=1}^{n} \lambda_j \cdot (\text{weight term})_j\]

으로 주어지며, 각 weight term은 dual torus $T^\vee$의 Maurer-Cartan form과 관련된 linear functional이다.

Equivariant superpotential의 정확한 formula는 사용하는 좌표계에 따라 여러 equivalent한 형태를 가진다. Plücker coordinate formulation에서는 equivariant parameters $\lambda_i$가 Chern roots $x_i$에 대응하는 deformation term으로 작용하며, 이는 $T$-equivariant Schubert class의 restriction to fixed points에서 나타나는 factorial structure와 정확히 일치한다.

명제 5 Equivariant superpotential $W_q^T$는 다음 성질들을 만족한다.

1. $\lambda_i = 0$으로 specialization하면 non-equivariant superpotential $W_q$가 된다.
2. $W_q^T$의 partial derivative들에 의해 생성되는 ideal은 $T^\vee$-equivariant deformation of the Jacobi ideal $(\partial W_q)$이다.
3. Mirror domain $\check{X}^\circ$ 위의 holomorphic volume form $\omega$는 equivariant setting에서도 well-defined하며, $W_q^T$와 compatible하다.

증명

첫 번째 성질은 정의에서 직접적으로 확인할 수 있다. $W_{\mathrm{eq}}$가 $\lambda_i$에 의존하며 $\lambda_i = 0$일 때 vanish하므로, specialization은 정확히 $W_q$를 준다.

두 번째 성질을 보이기 위해서는, equivariant Jacobi ideal이 non-equivariant Jacobi ideal의 flat deformation임을 확인해야 한다. Rietsch의 construction에서 $W_{\mathrm{eq}}$는 dual torus $T^\vee$의 character로 주어지는 regular function들의 합으로 표현된다. 따라서

\[\frac{\partial W_q^T}{\partial x_i} = \frac{\partial W_q}{\partial x_i} + \sum_{j} \lambda_j \frac{\partial w_j}{\partial x_i}\]

의 형태를 가지며, 여기서 $w_j$는 equivariant weight term들이다. 이 ideal은 $\lambda = 0$에서 $(\partial W_q)$로 specialization되므로, flat deformation의 성질을 만족한다.

세 번째 성질은 volume form $\omega$가 torus action으로부터 유도되는 canonical form임에서 따라온다. $\check{X}^\circ$는 anti-canonical divisor의 보충집합으로서 자연스러운 holomorphic volume form을 가지며, 이는 equivariant parameter의 도입과 독립적으로 정의된다.

Equivariant Jacobi ring과 quantum cohomology의 동형

Non-equivariant setting에서의 핵심 결과 $\operatorname{Jac}(W_q) \cong QH^\ast(X)$는 §Jacobi Ring, ⁋명제 5에서 다루어졌다. Equivariant setting에서 이 동형은 자연스럽게 확장된다.

정의 6 Equivariant superpotential $W_q^T$의 equivariant Jacobi ring은

\[\operatorname{Jac}(W_q^T) = \mathbb{C}[\check{X}^\circ][q^{\pm 1}, \lambda_1, \dots, \lambda_n] \Big/ \left( \frac{\partial W_q^T}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial W_q^T}{\partial x_N} \right)\]

으로 정의된다. 여기서 $x_1, \dots, x_N$은 $\check{X}^\circ$ 위의 local coordinates이고, $\lambda_i$는 equivariant parameters이다.

Equivariant Jacobi ring은 $\mathbb{C}[\lambda_1, \dots, \lambda_n][q^{\pm 1}]$-algebra로서의 구조를 가지며, 이는 $QH^\ast_T(X)$가 $H^\ast_T(\mathrm{pt})[q^{\pm 1}]$-algebra인 것과 대응한다.

정리 7 (Rietsch, 2008) Equivariant Jacobi ring $\operatorname{Jac}(W_q^T)$는 $T$-equivariant quantum cohomology ring $QH^\ast_T(X)$와 isomorphic하다. 즉,

\[\operatorname{Jac}(W_q^T) \cong QH^\ast_T(X)\]

이 성립한다. 이 isomorphism은 Plücker coordinate의 class $[p_\lambda] \in \operatorname{Jac}(W_q^T)$를 equivariant quantum Schubert class $\sigma^\lambda_T \in QH^\ast_T(X)$로 보내며, quantum parameter $q$와 equivariant parameters $\lambda_i$를 각각 대응하는 generators로 보낸다.

증명의 논리적 흐름은 non-equivariant 경우와 동일하게 세 단계로 구성된다.

Step 1. Marsh–Rietsch의 Plücker coordinate superpotential $W_q^T$와 Rietsch의 Lie-theoretic equivariant superpotential $F_q^T$ 사이의 isomorphism을 구성한다. §Jacobi Ring, ⁋정리 2에서 다루었던 non-equivariant isomorphism은 equivariant parameters $\lambda_i$를 포함하여 자연스럽게 확장된다. Dual torus $T^\vee$의 작용이 두 formulation에서 일관되게 대응되기 때문이다.

Step 2. Lie-theoretic equivariant superpotential $F_q^T$의 critical locus가 equivariant Peterson variety $Y^\ast_{P,T}$와 isomorphic함을 보인다. Equivariant Peterson variety는 원래 Peterson variety에 torus action을 포함한 확장이며, 그 coordinate ring은 $T$-equivariant quantum cohomology의 정보를 담고 있다. $F_q^T$의 임계점 방정식은

\[\partial_R F_q^T = 0 \iff g^{-1} \cdot F \in [\mathfrak{n}_-, \mathfrak{n}_-]^\perp \text{ and } \lambda\text{-constraint}\]

의 형태를 가지며, 이는 equivariant Peterson variety를 정확히 복원한다.

Step 3. Dale Peterson의 정리의 equivariant 버전에 의해, equivariant Peterson variety $Y^\ast_{P,T}$의 coordinate ring이 $QH^\ast_T(X)$와 isomorphic하다. 이는 Lam과 Shimozono에 의해 완성된 증명이며, equivariant setting에서의 quantum cohomology와 affine Grassmannian의 equivariant homology 사이의 대응을 기반으로 한다.

세 단계를 종합하면 $\operatorname{Jac}(W_q^T) \cong \operatorname{Jac}(F_q^T) \cong \mathbb{C}[Y^\ast_{P,T}] \cong QH^\ast_T(X)$를 얻는다.

정리 정리 7의 중요한 특징은 equivariant parameters $\lambda_i$가 Chern roots $x_i$에 대응한다는 점이다. Grassmannian $Gr(k,n)$에서 tautological bundle $S$의 Chern roots는 $x_1, \dots, x_k$로 표기되며, 이들은 equivariant cohomology에서 $H^\ast_T(\mathrm{pt})$의 generator들과 identification된다. Equivariant mirror symmetry의 관점에서, B-model의 parameters $\lambda_i$는 A-model의 Chern roots $x_i$로 대응되며, 이 대응은 두 ring의 generator level에서도 명시적으로 주어진다.

$Gr(2,4)$에서의 구체적 예시

가장 간단한 non-trivial한 예시인 $X = Gr(2,4)$를 고려하자. §Marsh–Rietsch Superpotential, ⁋예시 7에서 non-equivariant superpotential은

\[W_q = \frac{p_{(2,1)}}{p_{(1,1)}} + q \frac{p_{(1)}}{p_{(2,2)}} + \frac{p_\emptyset}{p_{(2)}} + \frac{p_{(1)}}{p_\emptyset}\]

으로 주어졌다. 이제 equivariant parameter $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4$를 포함하는 equivariant superpotential $W_q^T$를 구성한다.

예시 8 $Gr(2,4)$에서 torus $T = (\mathbb{C}^\ast)^4$는 4개의 equivariant parameter $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4$를 가진다. 이는 각 standard basis vector $e_i$에 부여된 weight이다. Plücker coordinates $\Delta_{ij}$에 대한 torus weight는

\[\mathrm{wt}(\Delta_{ij}) = \lambda_i + \lambda_j\]

이므로, equivariant superpotential의 각 항은 해당 Plücker coordinate의 torus weight를 반영하여 수정된다. 구체적으로, cluster chart에서 $z_1, z_2, z_3, z_4$ 좌표를 도입하면 equivariant superpotential은 다음과 같은 형태를 가진다.

\[W_q^T = W_q(z_1, z_2, z_3, z_4, q) + \sum_{i=1}^{4} \lambda_i \cdot \ln f_i(z_1, z_2, z_3, z_4)\]

여기서 $f_i$는 dual torus action의 moment map에 해당하는 rational function들이다. 이 표현은 multi-valued function으로 보일 수 있으나, 그 partial derivatives $\partial W_q^T / \partial z_j$는 $\check{X}^\circ$ 위에서 well-defined한 rational function이 된다.

$Gr(2,4)$의 equivariant quantum cohomology ring $QH^\ast_T(Gr(2,4))$는 generator $\sigma^1_T$, $\sigma^{1,1}_T$에 대해 다음과 같은 presentation을 가진다.

\[QH^\ast_T(Gr(2,4)) \cong \mathbb{C}[\sigma^1_T, \sigma^{1,1}_T, q, \lambda_1, \dots, \lambda_4] \big/ I_T\]

여기서 ideal $I_T$는 equivariant quantum Pieri rule로부터 얻어지는 관계식들을 포함한다. 구체적으로,

\[(\sigma^1_T)^{\star_T 2} = \sigma^{1,1}_T + \sigma^2_T + (\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 + \lambda_4) \sigma^1_T - \sum_{i<j} \lambda_i \lambda_j\] \[\sigma^1_T \star_T \sigma^{1,1}_T = q + (\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 + \lambda_4) \sigma^{1,1}_T\]

등의 관계가 성립하며, 여기서 equivariant parameters $\lambda_i$는 classical equivariant correction term을 제공한다.

Equivariant Jacobi ring $\operatorname{Jac}(W_q^T)$를 계산하면, $\partial W_q^T / \partial z_j = 0$로부터 얻어지는 관계식들이 위의 equivariant quantum cohomology 관계식들과 정확히 일치함을 확인할 수 있다. 특히 equivariant parameters $\lambda_i$가 Chern roots $x_i$에 대응하는 대응은, $W_q^T$의 equivariant correction term이 $QH^\ast_T(X)$의 $H^\ast_T(\mathrm{pt})$-module structure를 정확히 복원함을 의미한다.

---

참고문헌

[Rie08] K. Rietsch, A mirror symmetric construction of $qH^\ast_T(G/P)_{(q)}$, Adv. Math. 217 (2008), 2401–2442.

[MR] R. J. Marsh, K. Rietsch, The B-model connection and mirror symmetry for Grassmannians, Adv. Math. 319 (2017), 352–416.

[Mih] L. C. Mihalcea, Giambelli formulae for the equivariant quantum cohomology of the Grassmannian, Trans. Amer. Math. Soc. 360 (2008), 2285–2301.

[LS] T. Lam, M. Shimozono, Quantum cohomology of $G/P$ and homology of affine Grassmannian, Acta Math. 204 (2010), 49–90.