K

Grad. student in mathematics

A-model과 B-model

Mirror symmetry는 하나의 복소 다양체 $X$에 대해 서로 다른 두 물리학적 모델(A-model, B-model)이 서로 같은 정보를 담고 있다는 이론이다. 이 섹션에서는 이 두 모델의 기본적인 차이점과 대응 관계를 살펴볼 것이다.

정의 1 $X$를 컴팩트한 사각형(symplectic) 다양체라고 하자. A-model은 $X$ 위의 사각형 기하학(symplectic geometry)을 다루는 물리학적 모델이고, B-model은 $X$ 위의 복소 기하학(complex geometry)을 다루는 모델이다.

A-model (Symplectic Model)

A-model은 $X$ 위의 Gromov-Witten invariant을 통해 다양한 형태의 램프(ramified cover)의 계수를 셈으로서 계산한다. 이 모델의 핵심은 양자 코호몰로지(quantum cohomology)을 이용하는 것이다.

명제 1 A-model에서 중요한 데이터들은 다음과 같다:

  • $QH^\ast(X)$: 양자 코호몰로지 군
  • $GW_n(X)$: 차수 $n$의 Gromov-Witten invariant

이 모델에서 우리는 유리 곡선(rational curve)의 개수를 셈으로서, 다양한 기하학적 데이터를 얻는다.

B-model (Complex Model)

B-model은 $X$ 위의 변형의 호지 구조(variation of Hodge structure)를 다룬다. 이 모델은 주로 특이점 이론(singularity theory)과 연결된다.

명제 2 B-model에서 중요한 데이터들은 다음과 같다:

  • $VH^\ast(X)$: 변형의 호지 구조
  • $W(X)$: superpotential
  • Oscillating integrals

이 모델은 복소 다양체의 구조적 정보를 다루며, 특히 특이점 근처의 토폴로지 변화를 포착한다.

Mirror Symmetry의 핵심 아이디어

Mirror symmetry의 핵심은 다음과 같다: A-model의 데이터가 B-model의 데이터로 대응된다.

정리 1 (Mirror Symmetry의 핵심) $X$를 복소 다양체라고 할 때, A-model의 Gromov-Witten invariants와 B-model의 osculating integral 사이에 다음과 같은 대응이 존재한다.

\[S(q) = \sum_{\lambda} \left(\oint e^{\frac{1}{\hbar}W_q} p_\lambda \omega\right) PD(\sigma^\lambda)\]

이 함수 $S(q)$는 A-model의 flat section equation을 만족한다.

이 정리는 A-model의 양자 코호몰로지 계수를 B-model의 superpotential를 통해 계산 가능하게 만든다.

A-model vs B-model 비교

다음 표는 A-model과 B-model의 주요 차이점을 요약한 것이다.

특징 A-model B-model
기하학적 성질 사각형 기하학 (symplectic geometry) 복소 기하학 (complex geometry)
핵심 데이터 Gromov-Witten invariant, 양자 코호몰로지 변형의 호지 구조, superpotential
계산 방법 유리 곡선의 개수 셈 특이점 이론
quantum parameter $q$ (Kähler parameter) $q$ (quantum parameter)
구조 cohomological D-module

응용

Mirror symmetry는 다양한 분야에서 응용될 수 있다.

예시 1 Grassmannian $Gr_{n-k}(\mathbb{C}^n)$의 A-model 데이터를 B-model 데이터로 변환할 수 있다. 이를 통해 양자 코호몰로지의 구조를 명시적으로 계산할 수 있다.

예시 2 | String theory에서, A-model은 2D string theory, B-model은 2D sigma model에 대응한다. 이 두 모델은 물리적으로 같은 진폭을 계산하므로, 서로 다른 접근 방법을 제공한다.

다음 단계

다음 섹션에서는 Dubrovin connection을 배울 것이다. 이는 A-model의 flat connection을 정의하는 중요한 도구다.

[Mirror Symmetry] §Dubrovin Connection, ⁋정의 1

참고문헌

[MR] Andrei Marsh, Kenji Rietsch. A mirror construction for G/P. 2004.

[Dub] Viktor Dubrovin. Geometry of 2D topological field theories. Lecture Notes in Mathematics, 1620. Springer, 1996.

댓글남기기