도입

Projective space \(\mathbb{P}^n\) 위의 line bundle \(\mathcal{O}(d)\)의 cohomology는 완전히 계산된다. 이 계산은 대수기하학의 기본적인 도구이며, Serre duality, Riemann-Roch theorem 등의 응용에서 필수적이다.

Bott’s Formula

정리 1 (Bott’s Formula) \(\mathbb{P}^n\) 위의 line bundle \(\mathcal{O}(d)\)의 cohomology는 다음과 같다:

\[H^q(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d)) = \begin{cases} \mathbb{K}[x_0, \ldots, x_n]_d & q = 0, d \geq 0 \\ \mathbb{K}[x_0^{-1}, \ldots, x_n^{-1}]_{-d-n-1} & q = n, d \leq -n-1 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\]

참고 2 위 식에서 \(\mathbb{K}[x_0^{-1}, \ldots, x_n^{-1}]_{-d-n-1}\)은 degree \(-d-n-1\)의 “negative degree” monomial들의 공간이다. 예를 들어:

\[\mathbb{K}[x_0^{-1}, \ldots, x_n^{-1}]_k = \operatorname{Span}\{x_0^{a_0} \cdots x_n^{a_n} : a_i < 0, \sum a_i = k\}\]

예시 3 (\(\mathbb{P}^1\))

• \(H^0(\mathbb{P}^1, \mathcal{O}(d)) = \mathbb{K}[x_0, x_1]_d\) for \(d \geq 0\) (dimension \(d+1\))
• \(H^1(\mathbb{P}^1, \mathcal{O}(d)) = 0\) for \(d \geq -1\)
• \(H^1(\mathbb{P}^1, \mathcal{O}(d)) = \mathbb{K}[x_0^{-1}, x_1^{-1}]_{-d-2}\) for \(d \leq -2\) (dimension \(-d-1\))

예: \(H^1(\mathbb{P}^1, \mathcal{O}(-3))\)은 basis \(\{x_0^{-2}x_1^{-1}, x_0^{-1}x_1^{-2}\}\)를 갖고 dimension 2이다.

Euler Characteristic

따름정리 4 \(\mathbb{P}^n\) 위의 \(\mathcal{O}(d)\)의 Euler characteristic:

\[\chi(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d)) = \binom{n+d}{n}\]

증명

Bott’s formula에서 \(H^0\)만 non-zero인 경우를 고려하면:

\[\chi(\mathcal{O}(d)) = \dim H^0(\mathcal{O}(d)) = \dim \mathbb{K}[x_0, \ldots, x_n]_d = \binom{n+d}{n}\]

\(H^n\)이 non-zero인 경우도 Euler characteristic에는 같은 formula가 적용된다.

예시 5 \(\mathbb{P}^2\) 위의 \(\mathcal{O}(d)\)에 대해:

\[\chi(\mathcal{O}(d)) = \frac{(d+1)(d+2)}{2}\]

• \[\chi(\mathcal{O}(0)) = 1\]
• \[\chi(\mathcal{O}(1)) = 3\]
• \[\chi(\mathcal{O}(2)) = 6\]

Čech Cohomology를 통한 계산

명제 6 \(\mathbb{P}^n\)의 standard affine cover \(\mathfrak{U} = \{U_0, \ldots, U_n\}\)을 사용하면:

\[H^q(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d)) \cong \check{H}^q(\mathfrak{U}, \mathcal{O}(d))\]

증명

각 intersection \(U_{i_0 \cdots i_p} = U_{i_0} \cap \cdots \cap U_{i_p}\)는 affine이고, \(\mathcal{O}(d)\)는 quasi-coherent이므로 Leray’s theorem에 의해 Čech cohomology가 sheaf cohomology와 일치한다.

예시 7 (Explicit calculation for \(\mathbb{P}^1\))

\(\mathfrak{U} = \{U_0, U_1\}\)에 대해:

• \[C^0 = \mathcal{O}(d)(U_0) \oplus \mathcal{O}(d)(U_1)\]
• \[C^1 = \mathcal{O}(d)(U_0 \cap U_1)\]

\(U_0 \cong \mathbb{A}^1\)이고 coordinate \(t = x_1/x_0\)를 사용하면 \(\mathcal{O}(d)(U_0 \cap U_1)\)는 \(\mathbb{K}[t, t^{-1}] \cdot t^{-d}\)이다.

Coboundary map을 계산하면 Bott’s formula를 얻는다.

Regularity

정의 8 Coherent sheaf \(\mathcal{F}\) on \(\mathbb{P}^n\)이 \(m\)-regular라는 것은 \(i > 0\)에 대해 \(H^i(\mathbb{P}^n, \mathcal{F}(m-i)) = 0\)인 것이다.

정리 9 (Castelnuovo-Mumford Regularity) \(\mathcal{F}\)가 \(m\)-regular이면:

1. \(\mathcal{F}(m)\)은 globally generated
2. \(H^i(\mathbb{P}^n, \mathcal{F}(k)) = 0\) for \(i > 0\) and \(k \geq m - i\)

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참고문헌

[Har] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1977.
[Bot] R. Bott, Homogeneous vector bundles, Annals of Mathematics, 1957.