도입

Projective space $\mathbb{P}^n$ 위의 line bundle $\mathcal{O}(d)$의 cohomology는 완전히 계산된다. 이 계산은 대수기하학의 기본적인 도구이며, Serre duality, Riemann-Roch theorem 등의 응용에서 필수적이다.

Bott’s Formula

정리 1 (Bott’s Formula) $\mathbb{P}^n$ 위의 line bundle $\mathcal{O}(d)$의 cohomology는 다음과 같다:

\[H^q(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d)) = \begin{cases} \mathbb{K}[x_0, \ldots, x_n]_d & q = 0, d \geq 0 \\ \mathbb{K}[x_0^{-1}, \ldots, x_n^{-1}]_{-d-n-1} & q = n, d \leq -n-1 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\]

참고 2 위 식에서 $\mathbb{K}[x_0^{-1}, \ldots, x_n^{-1}]_{-d-n-1}$은 degree $-d-n-1$의 “negative degree” monomial들의 공간이다. 예를 들어:

\[\mathbb{K}[x_0^{-1}, \ldots, x_n^{-1}]_k = \operatorname{Span}\{x_0^{a_0} \cdots x_n^{a_n} : a_i < 0, \sum a_i = k\}\]

예시 3 ($\mathbb{P}^1$)

• $H^0(\mathbb{P}^1, \mathcal{O}(d)) = \mathbb{K}[x_0, x_1]_d$ for $d \geq 0$ (dimension $d+1$)
• $H^1(\mathbb{P}^1, \mathcal{O}(d)) = 0$ for $d \geq -1$
• $H^1(\mathbb{P}^1, \mathcal{O}(d)) = \mathbb{K}[x_0^{-1}, x_1^{-1}]_{-d-2}$ for $d \leq -2$ (dimension $-d-1$)

예: $H^1(\mathbb{P}^1, \mathcal{O}(-3))$은 basis ${x_0^{-2}x_1^{-1}, x_0^{-1}x_1^{-2}}$를 갖고 dimension 2이다.

Euler Characteristic

따름정리 4 $\mathbb{P}^n$ 위의 $\mathcal{O}(d)$의 Euler characteristic:

\[\chi(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d)) = \binom{n+d}{n}\]

증명

Bott’s formula에서 $H^0$만 non-zero인 경우를 고려하면:

\[\chi(\mathcal{O}(d)) = \dim H^0(\mathcal{O}(d)) = \dim \mathbb{K}[x_0, \ldots, x_n]_d = \binom{n+d}{n}\]

$H^n$이 non-zero인 경우도 Euler characteristic에는 같은 formula가 적용된다.

예시 5 $\mathbb{P}^2$ 위의 $\mathcal{O}(d)$에 대해:

\[\chi(\mathcal{O}(d)) = \frac{(d+1)(d+2)}{2}\]

• $\chi(\mathcal{O}(0)) = 1$
• $\chi(\mathcal{O}(1)) = 3$
• $\chi(\mathcal{O}(2)) = 6$

Čech Cohomology를 통한 계산

명제 6 $\mathbb{P}^n$의 standard affine cover $\mathfrak{U} = {U_0, \ldots, U_n}$을 사용하면:

\[H^q(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d)) \cong \check{H}^q(\mathfrak{U}, \mathcal{O}(d))\]

증명

각 intersection $U_{i_0 \cdots i_p} = U_{i_0} \cap \cdots \cap U_{i_p}$는 affine이고, $\mathcal{O}(d)$는 quasi-coherent이므로 Leray’s theorem에 의해 Čech cohomology가 sheaf cohomology와 일치한다.

예시 7 (Explicit calculation for $\mathbb{P}^1$)

$\mathfrak{U} = {U_0, U_1}$에 대해:

• $C^0 = \mathcal{O}(d)(U_0) \oplus \mathcal{O}(d)(U_1)$
• $C^1 = \mathcal{O}(d)(U_0 \cap U_1)$

$U_0 \cong \mathbb{A}^1$이고 coordinate $t = x_1/x_0$를 사용하면 $\mathcal{O}(d)(U_0 \cap U_1)$는 $\mathbb{K}[t, t^{-1}] \cdot t^{-d}$이다.

Coboundary map을 계산하면 Bott’s formula를 얻는다.

Regularity

정의 8 Coherent sheaf $\mathcal{F}$ on $\mathbb{P}^n$이 $m$-regular라는 것은 $i > 0$에 대해 $H^i(\mathbb{P}^n, \mathcal{F}(m-i)) = 0$인 것이다.

정리 9 (Castelnuovo-Mumford Regularity) $\mathcal{F}$가 $m$-regular이면:

1. $\mathcal{F}(m)$은 globally generated
2. $H^i(\mathbb{P}^n, \mathcal{F}(k)) = 0$ for $i > 0$ and $k \geq m - i$

---

참고문헌

[Har] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1977.
[Bot] R. Bott, Homogeneous vector bundles, Annals of Mathematics, 1957.